Тема контрольной работы: Контрольная работа по теории игр

Контрольная работа по теории игр. Задания № 5,26,46,96,114,129,142

3. В условиях этого пункта ожидаемая полезность Коняшева, если он не ставит, равна -1⁄M. Если же он ставит, то его ожидаемая полезность равна
0.1⋅(-1/(M+z-c))+0.9⋅(-1/(M-c))=(-0.1(M-c)-0.9(M+z-c))/(M+z-c)(M-c) =
=(-(M-c)-0.9z)/(M+z-c)(M-c) .
Решение «ставить» будет оптимальным, если выполняется неравенство
(-(M-c)-0.9z)/(M+z-c)(M-c) ≥-1/M.
Попробуем упростить это неравенство. Введем вспомогательную величину M-c=r. Тогда неравенство запишется в виде
(-r-0.9z)/(r+z)r≥-1/M.
Преобразуем неравенство:
1/M+(-r-0.9z)/(r+z)r≥0,
(r(r+z)-M(r+0.9z))/Mr(r+z) ≥0.
В знаменателе стоит произведение положительных чисел, поэтому неравенство равносильно следующему:
r(r+z)-M(r+0.9z)≥0.
Перепишем его в виде
r(r-M)+z(r-0.9M)≥0.
Теперь подставим M-c вместо r:
(M-c)⋅(-c)+z(0.1M-c)≥0,
c(M-c)≤z(0.1M-c).
Заметим, что левая часть неравенства положительна. Поэтому, если 0.1M-c≤0 (то есть сумма ставки c равна или превосходит 0.1M), то неравенство заведомо не выполняется. Если же 0.1M-c>0, то условие можно записать в виде
z≥c(M-c)/(0.1M-c).
Таким образом, окончательный ответ таков: решение «ставить» оптимально в том и только том случае, если выполняется совокупность условий
{█(c<0.1M@z≥c(M-c)/(0.1M-c))┤