Тема контрольной работы: Суперпозиция преобразований

Содержание

Введение.......................................................................................................... 3

1 Общие свойства
суперпозиции преобразований........................................ 4

2 Обратимые
преобразования...................................................................... 13

3 Обратимые
преобразования конечных множеств.................................... 23

Заключение.................................................................................................... 30

Список используемой
литературы............................................................... 31

Уже давно обращалось
внимание на важную роль алгебры в математике. Именно в алгебре часто
формируются идеи, понятия и методы, которые в дальнейшем распространяются и на
другие области математики.

В настоящее время
теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей
многочисленные приложения как в самой математике, так и за ее пределами — в
топологии, теории функций,  кристаллографии,
квантовой механике и других областях математики и естествознания.

Цели и задачи данной
работы: изучить тему «Суперпозиция преобразований», расширить и углубить знания
по алгебре. 

Пусть Ω – произвольное множество. Всякое отображение множества Ω в себя называется преобразованием Ω. Элементы преобразуемого множества будем, как правило, обозначать малыми греческими буквами, а преобразования – малыми латинскими. В частности, если элементу при преобразовании u соответствует элемент β, то β будем называть образом α и писать uα=β или u(α)=β.
Множество всех преобразований множества Ω будем обозначать .
Во множестве следующим образом вводится действие умножения преобразований (или, как говорят еще, суперпозиции преобразований): пусть u, υ, ω , тогда ω=uυ, если для каждого α Ω выполняется равенство ω(α) =u(υα).
Если Ω – некоторое множество вещественных чисел, то всякая функция, заданная на Ω, множество значений которой содержится в Ω, является преобразованием множества Ω, а умножение таких преобразований есть обычная суперпозиция функций.