Тема ответа: Ответы к экзамену по математике 2-ой курс (бакалавры) - 32 вопроса

Оформленные (со схемами и графиками) и подробные ответы на билеты к экзамену по математике 2-ой курс (бакалавры) 1 - 32 вопроса

1. Предел функции у=f(x) при x -> x0 и на бесконечности (определения). Односторонние пределы (определение). Предел последовательности. Свойства пределов (без доказательства). 1

2. Бесконечно малая функция (определение). Сравнение бесконечно малых функций. Таблица основных
эквивалентных бесконечно малых функций (без доказательства) 3

3. Бесконечно большая функция в точке х0 и на бесконечности (определения). Связь бесконечно большой функции с бесконечно малой (без доказательства). Предельный переход в неравенствах (без доказательства).4

4.  Первый и второй замечательные пределы (без доказательства). Гиперболические функции (определения), свойства (без доказательства). Натуральные логарифмы (определение) Формула перехода к
логарифму по другому основанию (с доказательством). 5

Переход к новому основанию логарифма. 9

5. Два равносильных определения непрерывности функции в точке. Непрерывность сложной функции (без
доказательства). Точки разрыва функции (определение, классификация). Свойства
функции непрерывной на отрезке (без доказательства). 12

6. Производная функции (определение). Геометрический смысл производной. Производная суммы,
произведения и частного функций (без доказательства) Производная сложной
функции (без доказательства). Производные основных элементарных функций. 14

7. Обратная функция и ее производная. Производные обратных тригонометрических функций. Неявная функцияодной переменной и ее производная. Параметрически заданная функция и ее производная. 17

8.  Дифференцируемость функции одной переменной в точке, дифференциал (определение). Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции (без доказательства). Замена приращения функции
дифференциалом в приближенных вычислениях. 17

9. Теорема Лагранжа (без доказательства). Формула конечных приращений. Правило Лопиталя (без вывода). 18

10. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции непрерывной на отрезке. Общая схема исследования функции. 19

11. Первообразная функции, неопределенный интеграл (определения). Основные свойства неопределенных
интегралов (без доказательства). Таблица основных неопределенных интегралов. 21

12.  Основные методы вычисления неопределенных интегралов: непосредственное интегрирование, метод замены переменной, метод интегрирования по частям (без доказательства). 22

13. Определенный интеграл по отрезку (определение) и его основные свойства (без доказательства). Теорема
о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом (без доказательства). Формула Ньютона - Лейбница. 23

14. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле (без
доказательства). Вычисление объема тела по известным площадям сечений (без вывода). Объем тела вращения. 24

15. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных и полярных координатах.(без вывода). Вычисление
криволинейного интеграла по длине дуги (без вывода). Вычисление площади поверхности вращения (без вывода). 28

16. Обыкновенное дифференциальное уравнение, его порядок, общее и частное решение (определения).
Задача Коши для уравнения y\'=f(x,y) ее геометрическая интерпретация Формулировка теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши. 31

17. Метод интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными и однородных. Примеры. 33

18. Метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулди. Примеры. 40

19.  Задача Коши для уравнения y\'\'=f(x,y,y\') и ее геометрическая интерпретация. Общее и частное
решение дифференциального уравнения второго порядка. Метод понижения порядка для  уравнений  f(x,y\',y\'\')=0 и f(y,y\',y\'\')=0. 42

20. Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений любого порядка. Линеиная
зависимость и независимость системы функций. Определитель Вронского и его свойства (без доказательства). 46

21. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка
(определение).Теоремы о структуре общего решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений (без доказательства). 47

22. Вид общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения. 49

23. Решение неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов и методом вариации произвольных постоянных. 52

24. Числовой ряд, его сходимость, сумма (определения). Необходимый признак сходимости (с
доказательством). Основные свойства сходящихся рядов (без доказательства). 58

25. Признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши (без доказательства) Исследовать на
сходимость ряд. 60

26. Достаточный признак сходимости числовых рядов с членами любого знака (без доказательства).
Абсолютная и условная сходимость ряда. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда (без доказательства). Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда. 61

27. Теорема Абеля (без доказательства). Интервал сходимости степенного ряда. Основные свойства
степенных рядов (без доказательства). 64

28. Теорема о единственности разложения функции в степенной ряд (без доказательства). Ряд
Тейлора. Ряд Маклорена. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Теорема о сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции (без доказательства) 65

29. Разложение в ряд Маклорена функций y=е^x, у = sinx, у =cosx: (с доказательством сходимости к порождающей ряд Маклорена функции). 67

30. Разложение в ряд Маклорена функций у = (1 + x), у = ln(1+x), y=arctg x (без исследования остаточного члена). Интервал сходимости полученных рядов. 68

31. Ортогональность тригонометрической системы функций 1, sinnx, cosnх на отрезке[-Пи,Пи]. Теорема о единственности разложения функции в тригонометрический ряд (без доказательства.). Тригонометрический ряд Фурье. Достаточные условия сходимости ряда Фурье к порождающей его функции (без
доказательства). 69( 1) 70

Признаки сходимости рядов Фурье. 71

32. Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций. Тригонометрический ряд Фурье для функций, заданных на произвольном интервале [-l, l] и полуинтервале [0,l]. 71

Геометрическая интерпретация метода Эйлера.
Методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности называют одношаговый метод, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутты. В этом методе величины yi+1 вычисляются по следующим формулам:
yi+1 = yi + h (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6 , i = 0, 1, ...
k1 = f(xi , yi),
k2 = f(xi+h/2, yi+hk1/2),
k3 = f(xi+h/2, yi+hk2/2),
k4 = f(xi+h, yi+hk3).

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда
Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (23) сходится, если его члены убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия:
1) u1 > u2 > u3 >…

Решение. Для исследования ряда на сходимость применим признак Лейбница. Вначале проверяем выполнение первого условия признака Лейбница - убывание абсолютных величин членов ряда с ростом n. Первое условие Лейбница для данного ряда выполняется: