Тема шпаргалки: Алгебраические структуры. Многочлен. Кольцо многочлена

Развернутые ответы на экзаменационные вопросы по алгебре:

1. Основные алгебраические структуры

2. Определение кольца многочлена

3. Построение кольца многочлена

4. Определение степени многочлена. Свойства степеней

5. Теорема Безу. Схема Горнера

6. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов

7. Частное и остаток от деления многочлена на многочлен. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов

8. Отношение делимости в кольце многочленов и его свойства

9. Определение НОД многочленов. Свойства НОДа многочленов. НОД нескольких многочленов.

10. Алгоритм Евклида. Линейная форма НОДа

11. Взаимно простые многочлены и их свойства

12. Неприводимые многочлены и их основные свойства

13. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых многочленов. Каноническое разложение многочлена

14. Производная многочлена и её свойства

15. Теорема о кратности неприводимого множителя. Определение кратности корня.

16. Алгоритм отделения кратных множителей

17. Основная теорема алгебры многочленов. Следствия из основной теоремы алгебры

18. Формулы Виета

19. Решение уравнений III-ей степени методом Кардано

20. Решение уравнений четвёртой степени методом Феррари

21. Неприводимость многочленов над полем действительных чисел

22. Связь между неприводимостью многочлена с целыми коэффициентами над кольцом целых чисел и над полем рациональных чисел

23. Примитивные многочлены. Лемма Гаусса

24. Критерий Эйзенштейна

25. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

Работа представляет собой текст (в том числе формулы), 100% набранный в Word.

Алгебраическая структура - множество А, на котором определена некоторая система внутренних операций и отношений, подчиняющихся тем или иным законам – аксиомам соответствующих структур. Само множество А - носитель алгебраической структуры.
Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца.
Многочлен от переменной x - алгебраическая сумма одночленов. В многочлене порядок слагаемых безразличен и подобные одночлены можно соединять, согласно приведению подобных членов.
Пусть А – ассоциативное коммутативное кольцо с 1 без делителей 0. Рассмотрим множество А[x] всех последовательностей элементов из кольца А, в которых только конечное число элементов отлично от 0 (здесь 0 – нейтральный элемент относительно сложения кольца А).
Т.Безу. Остаток от деления многочлена F(x) на линейный двучлен x–a равен значению многочлена в точке а, т.е. числу F(a).