Тема : О НЕКОТОРЫХ ПРИЛОЖЕНИЯХ ПОНЯТИЯ ВРАЩЕНИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ

В настоящее время, в теории нелинейного математического анализа, находит широкое применение теория вращения векторных полей. Данная работа посвящена именно данной тематике.

В рамках работы над ВКР  в первой главе, был подобран и систематизирован материал по теории вращения векторных полей. Также приведены практические примеры на нахождения вращений. Вторая глава посвящена приложениям данного понятия, к примеру, анализу решений линейных и нелинейных краевых задач, разрешимости уравнений и т. д. Особо выделю тот факт, что к каждому разделу магистерской диссертации автором приведены примеры практических задач, а также их решения, что будет полезно для освоения студентами данного материала в рамках курса по выбору, разработка которого является целью данной ВКР.

Материал структурирован, между разделами прослеживается логическая связь. Несомненно, содержание данной ВКР будет полезно как автору, так и ее коллегам в будущей работе.

При изучении математических объектов наиболее часто используются такие их характеристики, которые могут принимать любые числовые значения из некоторых промежутков, например, значение функции в точке, мера множества, длина вектора и так далее. При всем этом, не менее важную роль играют дискретные, например, целочисленные характеристики. Одной из них, а именно, вращению плоского векторного поля на замкнутых кривых, посвящена данная работа.

Теория вращения векторных полей лежит в основе некоторых современных качественных методов нелинейного математического анализа.

Стоит отметить, что на первых порах своего развития идеология математического анализа была сугубо аналитической, и крупнейшим представителем этого направления был один из величайших математиков – Леонард Эйлер. В XIX веке стали постепенно возникать качественные методы математического анализа, отчетливо осознанные в трудах таких математиков как, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов, Д. Биркгофа и др. Выдающийся вклад в развитие современных качественных методов нелинейного математического анализа принадлежит М. А. Красносельскому.

Сейчас качественные методы математического анализа активно развиваются и успешно применяются в сочетании с аналитическими и численными методами.

Все вышесказанное обуславливает актуальность заявленной темы.

Цель работы: разработка курса по выбору для студентов младших курсов физико – математического факультета.

Задачи:

* проанализировать и обобщить литературу по заявленной теме;

* рассмотреть некоторые приложения понятия вращения векторного поля на плоскости;

* привести ряд примеров по данной тематике.

Магистерская диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе рассматриваются основные понятия для векторных полей на плоскости, такие как: векторное поле, угловая функция, вращение поля, вычисление вращения.

Вторая глава посвящена основным приложениям понятия вращения векторного поля на плоскости, таким как: разрешимость уравнений, векторные поля градиентов функции, линейные краевые задачи, нелинейные краевые задачи, которые рассматриваются с соответствующими примерами и задачами.