Тема курсовой работы: Тригонометрические уравнения

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………….

ГЛАВА I. МЕСТО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ТРИГОНОМЕТРИИ

       §1. Место тригонометрии в школьном курсе……………………………

       §2. Основные формулы тригонометрии………………………………… 

       §3. Формирование понятия «тригонометрическое уравнение» ………

       §4. Решение тригонометрических уравнений ………………………….

ГЛАВА II. ВИДЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

       §1. Простейшие тригонометрические уравнения……………………….

       §2. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим …

       §3. Однородные и линейные тригонометрические уравнения…………

             3.1 Однородные уравнения………………………………………….. 

             3.2 Линейные уравнения……………………………………………...

       §4. Уравнения, решаемые разложением на множители………………..

       §5. Уравнения, решаемые методом оценки……………………………..

       §6. Системы тригонометрических уравнений………………………….

       §7. Вопросы равносильности……………………………………………

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ  ЛИТЕРАТУРЫ………………………….

ПРИЛОЖЕНИЕ………………………………………………………………. 

ВВЕДЕНИЕ

Долгое время тригонометрию рассматривали как раздел геометрии, и  это порождало у школьников неверное представление о тригонометрических функциях, границы применимости которых, к тому же, сводились до минимума.

В настоящее время тригонометрию изучают в курсе алгебры и начал анализа, хотя основное понятие тригонометрической функции в учебной литературе по-прежнему задается геометрическим способом в виду отсутствия у старшеклассников знаний теории рядов. Таким образом, изучение тригонометрических функций, а в дальнейшем и тригонометрических уравнений, в школьном курсе имеет некоторые особенности.

В данной работе рассматривается вопрос о формировании таких понятий, как «тригонометрическое уравнение» и «решение тригонометрического уравнения».

Процесс нахождения решений тригонометрического уравнения состоит из двух основных этапов: преобразования уравнения до получения простейшего (их системы либо совокупности) и решения последнего (или последних).

В зависимости от вида исходного тригонометрического уравнения, существуют различные методы их решения, и в данной работе подробно рассматривается каждый из них, сопровождается примерами из вступительных экзаменов и пособий для абитуриентов.

Актуальность темы курсовой заключается в том, что тригонометрические уравнения включены в часть С Единого Государственного Экзамена. Задания такого плана содержат две части: непосредственное решение уравнения, в результате которого получается бесконечное множество корней, и последующий отбор корней на предмет принадлежности конкретному промежутку.

ГЛАВА I. МЕСТО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ТРИГОНОМЕТРИИ

§1. Место тригонометрии в школьном курсе

Школьный курс тригонометрии традиционно является трудным как для преподавания, так и для понимания учениками. Рассматривая цели данного курса, можно убедиться, что они совершенно отличаются от целей других курсов математики, изучаемых в школе: арифметики, алгебры и геометрии. Последние имеют явное применение в практической жизни, и, на первый взгляд, кажутся «нужнее» для изучения. Тригонометрия может быть приложена непосредственно к решению прямоугольных треугольников, в ряде физических задач[1], в компьютерной графике. В связи с внешне узкой областью применимости тригонометрии, возникает вопрос: зачем ее изучать?

 Главной целью курса тригонометрии, по Н.М.Бескину, является подготовка учеников к высшей школе и развитие функционального мышления. «Изучение свойств тригонометрических функций играет также важную общеобразовательную роль, совершенно не зависящую от решения треугольников. Это изучение обогащает сведения учеников о функциях и их свойствах». Следует обратить внимание на последнюю фразу. Она подчеркивает то, что на самом деле тригонометрия – глава математического анализа, изучающая свойства определенного класса функций, в то время как в школьном курсе ее долгое время рассматривали как главу геометрии.

О том, что в 50-е годы прошлого столетия это противоречие являлось серьезной проблемой, Н.М.Бескин написал в своей книге «Вопросы тригонометрии и ее преподавания»: «Школьный курс, во-первых, прививает ученикам такую точку зрения на тригонометрические функции, которая является серьезной помехой при изучении анализа. Во-вторых, школьный курс содержит много лишних вопросов, общеобразовательное значение которых почти равно нулю. <…> Эти вопросы важны для очень ограниченного круга специальностей»[2].

Каким тогда должно быть изложение курса тригонометрии в школе, чтобы реализовалась его основная цель? Трудность заключается в том, что в школе невозможно исходить из аналитического определения тригонометрических функций, т.к. ученики не знакомы ни с теорией рядов, ни с теорией дифференциальных уравнений. Наиболее частые способы определения тригонометрических функций в школе – способ с тригонометрическим кругом и координатный.

Далее ученики знакомятся с тригонометрическими тождествами – равенствами, устанавливающими связь между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Тригонометрические тождества (как и тригонометрические уравнения) не представляют собой отдельного раздела, а пронизывают весь курс тригонометрии.